Рисование геометрических фигур

Сложные модели

В сложной геометрии выделяют фигуры с пространственным, плоским и объемным наполнением. Существует понятие геометрического тела, 3D-моделирование и проекция.

Определение тела и пространства

Геометрическое тело (ГТ) представляет часть пространства, отделенное замкнутой поверхностью наружной границы. Это понятие относится к компактному множеству точек, а две из них соединяют отрезком, проходящим внутри границы тела. Внешняя граница ГТ является его гранью, которых может быть несколько. Множество плоских граней определяет вершины и ребра ГТ. Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.

Тела вращения — объемные тела, образующиеся из-за вращения плоской фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси. Эта ось расположена в той же плоскости. При вращении контуров фигур вокруг собственной оси возникает поверхность вращения, а если вращать заполненные контуры — возникают объекты (шар).

Шар представляет множество точек, расположенных от данной точки на небольшом пространстве. Точка является центром шара, а расстояние ограничено радиусом.

В сферу геометрии входят плоские (двухмерные) и объемные пространственные фигуры (трехмерные).

Существуют двухмерные фигуры (2D), представленные углом, многоугольником, четырехугольником, окружностью, кругом, эллипсом и овалом. Объекты 3D выделены двугранным или многогранным углом. Среди них известны призма, параллелепипед, куб, антипризма, пирамида, тетраэдр икосаэдр, бипирамида, геоид, эллипсоид, сфера шар и другие. Плоские фигуры изучает планиметрия, а объемные — стереометрия.

Объемные фигуры:

  • Шар.
  • Конус.
  • Параллелепипед.
  • Цилиндр.
  • Сфера.

Конус образуется из треугольника с прямыми углами, при вращении его вокруг одного из катетов. Тороид возникает из замкнутой плоскости (окружности), вращающейся вокруг прямой и не пересекающей ее. Многогранник называется полиэдр, представляет замкнутую поверхность, состоящую из многоугольников.

Виды многогранников:

  • Тетраэдер (четырехгранник). Это правильный треугольник.
  • Куб (гексаэдр). Грани являются квадратом.
  • Октаэдр. Имеется шесть вершин и восемь граней.
  • Икосаэдр. Равносторонние треугольники являются гранями. Имеется 12 граней и 12 вершин.
  • Додекаэдр. Правильные шестиугольники, имеется 12 граней, 20 вершин.

Познавательные игрушки детям

Геометрия является наукой, которой можно знакомить детей с раннего возраста. Лучше распечатать картинки, геометрические фигуры для детей, затем нарисовать их вместе на чистом листе. Малышу первого года подобное занятие будет не очень интересным и понятным, а у дошкольника вызовет интерес, особенно если объекты изучения будут разноцветными или в необычном исполнении.

Основной материал для обучения детей:

  • Яркие карточки с основными фигурами, формами. Шаблоны будут наглядным пособием перед школой.
  • Раскраски, прописи, рабочая тетрадь. На каждой странице тетради представлены простейшие графические упражнения и задания. Выполняя их, малыш познакомится с геометрией и узнает названия фигур.
  • Специальная детская литература.

Увлекательные, забавные, задорные стихи «Веселая геометрия для малышей» помогут детям быстро познакомиться и усвоить много важной информации о фигурах и размерах предметов. Веселые стишки помогут юному читателю соотнести малопонятные геометрические знания с обыденными предметами обихода

Например, в женской юбке представлена трапеция, в блюдце— круг, а в трубе цилиндр.

Ближе к дошкольному возрасту переходят на объемные фигуры, кубики, конусы, кольца и цилиндры. В школьном возрасте знания накопятся, и дети будут осознанно различать равнобедренный, равносторонний треугольник, три понятия: луч, отрезок, окружность.

Раздел математики геометрия изучает пространственные отношения и формы. Фигура как понятие, рассмотренное во всех учебниках геометрии, является пространственной формой.

Геометрию можно обнаружить везде — в любых окружающих предметах. Это современные здания, архитектурные строения, формы, космическая станция, интерьер квартиры, подводные лодки.

Математические знания являются профессионально важными для современных специальностей: дизайнеров и конструкторов, рабочих и ученых. Без знания основ геометрии невозможно построить здание или отремонтировать квартиру.

Предыдущая
ГеометрияАрктангенс- определение, свойства и формулы
Следующая
ГеометрияОстроугольный треугольник — виды, свойства и признаки

Определение параметров

Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной треугольной пирамиды.

Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием правильный многоугольник, а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран равносторонний треугольник. Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды – это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три

Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры

Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.

OnlineCharts.ru

Еще одно отличное приложение для эффектного представления информации вы можете найти на сайте OnlineCharts.ru, где можно построить график функции онлайн бесплатно.

Сервис способен работать с множеством видов диаграмм, включая линейные, пузырьковые, круговые, столбчатые и радиальные.

Система обладает очень простым и наглядным интерфейсом. Все доступные функции разделены вкладками в виде горизонтального меню.

Чтобы начать работу необходимо выбрать тип диаграммы, которую вы хотите построить.

После этого можно настроить некоторые дополнительные параметры внешнего вида, в зависимости от выбранного типа графика.

Во вкладке «Добавить данные» пользователю предлагается задать количество строк и если необходимо количество групп.

Также можно определить цвет.

Обратите внимание! Вкладка «Подписи и шрифты» предлагает задать свойства подписей (нужно ли их выводить вообще, если да, то каким цветом и размером шрифта). Также предоставляется возможность выбора типа шрифта и его размера для основного текста диаграммы.

Нажимаем далее и попадаем во вкладку «Просмотр», где получаем возможность созерцать плоды своего труда.

На вкладке «Сохранить и поделиться диаграммой» есть возможность отправить ссылку на созданный график друзьям или поделиться своей работой через социальные сети.

Все предельно просто.

Принцип работы

  • подбор рабочей области (прямоугольник) с заданием “реальных” координат его левой нижней и правой верхней вершины — другими словами области определения и значений той функции (графика, набора точек), который мы получим в результате;
  • простановка опорных точек, по которым будет построен B-сплайн заданной степени;
  • предпросмотр результата;
  • вывод результата в вычисляемом виде для дальнейшей работы.

B-сплайны

  • они дают гибкие кривые (если степень B-сплайна выше 1-й),
  • дают компактные аналитические представления кривых (кривые Безье — это вырожденный случай B-сплайнов, в которых каждая точка, если говорить просто, влияет на весь вид кривой);
  • просты в работе (реализованы во многих пакетах и не так сложны, если их потребуется запрограммировать с нуля самостоятельно).

Wolfram Language

Элементарные задачи на построение

С помощью основных
построений решаются некоторые задачи,
достаточно простые и часто встречающиеся
при решении других, бо­лее сложных.
Такие задачи считаются элементарными
и описания их решения, если они встречаются
при решении более сложных, не дается.
Выбор элементарных задач является
условным.

Задача на построение
считается решенной, если указан способ
построения фигуры и доказано, что в
результате выполнения ука­занных
построений действительно получается
фигура с требуемыми свойствами.

Рассмотрим некоторые
элементарные задачи на построение.

1.
Построить на данной прямой отрезок СD,
равный данному от­резку АВ

Возможность
такого построения вытекает из аксиомы
откладыва­ния отрезка. С помощью
циркуля и линейки оно осуществляется
сле­дую щим образом. Пусть даны прямая
а и
отрезок АВ.
Отмечаем на прямой точку С и строим с
центром в точке С окружность радиусом,
равным отрезку АВ.
Точку пересечения окружности с прямой
а
обо­значаем D.
Получаем отрезок СD,
равный АВ.

2.Отложить от
данной полупрямой в данную полуплоскость
угол, равный данному углу.

Пусть
даны угол А
и по­лупрямая с начальной точ­кой
О.
Проведем окружность произвольного
радиуса с цент­ром в вершине А
данного угла (рис. а). Точки пересече­ния
окружности со сторонами угла обозначим
В и
С. Радиусом АВ проведем
окружность с центром в точке О
(рис. б). Точку пере­сечения этой
окружности с данной полупрямой обозначим
В’.
Опи­шем окружность с центром В’
и радиусом ВС.
Точка С’ пересечения построенных
окружностей в указанной полуплоскости
лежит на стороне искомого угла.

Построенный
угол В’ОС’
равен углу ВАС,
так как это соответст­вующие углы
равных треугольников АВС
и В’ОС.

3. Найти середину
отрезка.

Пусть
АВ —
данный отрезок. Построим две окружности
одного радиуса с центрами А
и В (рис.).
Они пересекаются в точках С и С’, лежащих
в разных полуплоскостях относитель­но
прямой АВ.
Проведем прямую СС’.
Она пе­ресечет прямую АВ
в точке О.
Эта точка и есть середина отрезка АВ.

Действительно,
треугольники САС’
и СВС’ равны
по трем сторонам. Отсюда следует
равен­ство углов А
СО
и ОСВ.
Значит, отрезок СО
биссектриса
равнобедренного треугольника АСВ
и, следовательно, его
медиана, т.е. точка О
се­редина отрезка
АВ.

4. Построить
биссектрису данного угла.

Из
вершины А
данного угла как из центра описываем
окружность произвольного радиуса
(рис.). Пусть В
и С- точки ее пересечения

со
сторонами угла. Из точек В
и С
описываем окружности
одного радиуса. Пусть В
точка их пересечения,
отличная от А.
Тогда по­лупрямая АО
и есть биссектриса угла А.
Докажем это. Для этого рассмотрим
треугольники АВD
и АСВ.
Они равны по трем сторо­нам. Отсюда
следует равенство соответствующих
углов DАВ
и ВАС, т.е.
луч АD
делит угол ВАС
пополам и, следовательно, является
бис­сектрисой.

5. Через данную
точку провести прямую, перпендикулярную
дан­ной прямой.

Пусть
даны точка О
и прямая а.
Возможны два случая:

1) точка
О
лежит на прямой а;

2) точка
О
не лежит на прямой а.

В
первом случае построение выполняется
так же, как и в задаче 4, потому что
перпенди­куляр из точки О,
лежащей на прямой, — это биссектриса
развернутого угла (рис.).

Во
втором случае из точки О
как из центра проводим окружность,
пересекающую прямую а
(рис.), а затем из точек А
и В
тем же ра­диусом проводим еще две
окружности. Пусть О’
точка их пересечения,
лежащая в полу­плоскости, отличной
от той, в которой лежит точка О.
Прямая 00′
и есть перпендикуляр к данной прямой
а.
Докажем это.

Обозначим
через С точку пересечения пря­мых АВ
и 00′.
Треугольники АОВ
и АО’В равны
по трем сторонам. Поэтому угол ОАС
равен углу О’АС
и, значит, треугольники ОАС
и О’АС
равны по двум сторонам и углу между
ними. Отсюда их углы АСО
и АСО’
равны. А так как углы смежные, то они
прямые. Таким образом, ОС
есть пер­пендикуляр к прямой а.

6. Через
данную точку провести прямую, параллельную
данной. Пусть даны прямая а
и точка А
вне этой прямой (рис.). Возь­мем на
прямой а
какую-нибудь точку В
и соединим ее с точкой А.
Через точку А
проведем прямую с,
образующую с АВ
такой же угол, какой АВ
образует с дан­ной прямой а,
но на противоположной стороне от АВ.
Построенная прямая будет параллельна
прямой а,
что следует из равенства накрест ле­жащих
углов, образованных при пересечении
прямых а и с
секущей АВ.

Упражнения

1. Постройте с
помощью циркуля и линейки сумму и
разность двух данных: а) отрезков; б)
углов.

2. Разделите данный
угол на 4 равных части.

3. Дан
треугольник АВС.
Постройте другой, равный ему, треуголь­ник
АВD.

4. Постройте
окружность данного радиуса, проходящую
через две данные точки.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции

Данная линия называется синусоидой.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: , и в тригонометрии от него в глазах рябит.

Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения: , то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: . Функция  является ограниченной: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке .
Такого не бывает:  или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: . Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится:

Как ведет себя синус на бесконечности? Попробуем провести исследование с помощью пределов:,  Чему равны такие пределы? Запомните, данных пределов не существует. По вполне понятным причинам, график синуса болтается как как неприкаянный, то дойдет единицы, то уйдет к минус единице и так до бесконечности.

Вот вам пример, когда предела не существует. В высшей математике это можно встретить не очень часто, но такое понятие, как «предела не существует» – существует!

В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: , , . Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в методическом материале Тригонометрические таблицы.

График косинуса

Построим график функции

График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси  на  влево
(см. также Пример 8 урока о геометрических преобразованиях графиков).

Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси  , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».

Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , .

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции


Основные свойства функции :

Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.

Область определения:  – все действительные числа, кроме …  , , , … и т. д. или коротко: , где  – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.

Область значений: . Функция  не ограничена. В этом легко убедиться и аналитически: – если мы приближаемся по оси  к значению  справа, то ветка тангенса уходит на минус бесконечность, бесконечно близко приближаясь к своей асимптоте . – если мы приближаемся по оси  к значению  слева, то «игреки» шагают вверх на плюс бесконечность, а ветка тангенса бесконечно близко приближается к асимптоте .

Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:


Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

 
А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

Обратите внимание, как я расположил подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых  ,  или справа внизу между графиками

1) Линейная функция вида  () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида  задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось  задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись  следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида  задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось  задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись  следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде  или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье Уравнение прямой на плоскости.

Коническая поверхность

Каноническое уравнение  в декартовых координатах задаёт коническую поверхность 2-го порядка или, если короче, конус. Но это опять же не совсем тот конический колпак, который всем знаком со времён далёкого детства.

Форму многих поверхностей удобно исследовать методом сечений, который я потихоньку начал использовать ещё в предыдущих параграфах. Суть метода состоит в том, что мы «рассекаем пациентов» плоскостями  (прежде всего, координатными), и получившиеся сечения позволяют нам хорошо понять, как выглядит та или иная поверхность.

Перепишем уравнение в виде  и исследуем сечения конуса плоскостями , параллельными плоскости . Подставим  в уравнение конической поверхности:

Очевидно, что случаю  соответствует уравнение , задающее пару мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой пересечения в начале координат. Данная точка называется вершиной конуса.

Если же , то уравнение  задаёт эллипсы различных размеров, причём из последнего уравнения хорошо видно, что с увеличением абсолютных значений «цэ большого» полуоси эллипсов неограниченно возрастают. Таким образом, коническая поверхность бесконечна:
Если коническую поверхность «разрезать» произвольной плоскостью (которая проходит через ось ), то в сечении получатся две пересекающиеся в начале координат прямые. Множество таких сечений, собственно, и образует коническую поверхность. И логично, что каждая из этих прямых называется образующей конуса. 

На практике почти всегда приходится иметь дело с конусом вращения, в котором сечения плоскостями  представляют собой окружности. И во многих практических задачах типичен следующий «опознавательный» вид уравнения: – с «зет» в левой части и равными коэффициенты при  и .

Как многие догадались,  функция  задаёт верхнюю часть конуса, а функция  – его нижнюю часть.

Распространённая вариация по теме:

Пример 16

Построить поверхность

Решение: уравнение имеет вид  и определяет половину конуса, располагающуюся в верхнем полупространстве. Вершина конической поверхности, понятно, расположена в начале координат, но как построить всё остальное?

Возведём обе части исходного уравнения в квадрат:

Далее выберем небольшое положительное значение «зет», например , и найдём линию пересечения этой плоскости с нашей поверхностью: – окружность радиуса .

Пояснение на всякий случай:  подставили в 1-е уравнение

Теперь на высоте  изобразим окружность  и аккуратно проведём 4 образующие конуса:
Образующие, в принципе, можно было продолжить и выше плоскости .

Не забываем, что уравнение  задаёт только верхнюю часть поверхности и поэтому никаких «хвостиков» в нижнем полупространстве быть не должно.

Пожалуй, простейшая коническая поверхность:

Пример 17

Построить коническую поверхность .  Записать неравенства, определяющие внутреннюю и внешнюю часть конуса.

В образце решения изображён фрагмент конуса, расположенный между плоскостями . Ну, а с неравенствами, думаю, сообразите самостоятельно. В случае мучительных сомнений всегда можно взять точку (внутри или снаружи конуса) и проверить, удовлетворяют ли её координаты неравенству.

В заключение статьи подробно рассмотрим ещё одну мегапопулярную поверхность:

Бесплатные растровые редакторы

Предназначены для создания и редактирования любых немасштабируемых рисунков и фотографий.

1. GIMP

Платформы: Windows, macOS, Linux.

Бесплатный графический редактор с открытым исходным кодом. GIMP укомплектован богатым набором функций для рисования, цветокоррекции, клонирования, выделения, улучшений и других действий. Интерфейсом GIMP отличается от популярнейшего Photoshop, но долго искать нужные инструменты вам не придётся.

Команда GIMP позаботилась о совместимости, так что вы сможете без проблем работать со всеми популярными форматами изображений. Кроме того, в GIMP встроен файловый менеджер, похожий на Bridge из программ от компании Adobe.

2. Photo Pos Pro

Платформы: Windows.

Если вы работаете на Windows и не нуждаетесь в таком количестве инструментов, как у GIMP, вашим идеальным редактором может стать Photo Pos Pro. Последний создан с прицелом на редактирование изображений и отлично справляется с типичными задачами вроде регулировки контрастности, освещения и насыщенности. Но Photo Pos Pro подходит и для более сложных манипуляций.

Эта программа может похвастать очень дружелюбным интерфейсом и детальной справкой, которая помогает разобраться новичкам. Если вы сделать Photo Pos Pro ещё функциональнее, к вашим услугам множество расширений и плагинов.

3. Krita

Платформы: Windows, macOS, Linux.

Ещё один редактор с открытым исходным кодом. Krita существует с 1999 года и постоянно совершенствуется, чтобы соответствовать нуждам концепт-художников, иллюстраторов, специалистов по визуальным эффектам, дорисовке и текстурам.

Программа включает набор самых разных кистей и поддерживает множество плагинов: от продвинутых фильтров до вспомогательных инструментов для работы с перспективой.

В числе самых интересных функций — стабилизаторы кистей, которые сглаживают линии, режим зацикливания для создания бесшовных паттернов и текстур, а также всплывающая палитра для быстрого выбора цвета.

4. Pixlr

Платформы: веб, iOS, Android.

Pixlr предлагает более 600 эффектов, наложений и рамок. В этом сервисе можно делать всё, чего стоит ждать от фоторедактора: изменять размер изображений, обрезать их, удалять эффект красных глаз, отбеливать зубы и многое другое.

Если вы знакомы с Photoshop, то очень быстро освоите веб-версию Pixlr. Интерфейсы этих редакторов очень похожи.

5. Paint.NET

Платформы: Windows.

Paint.NET является альтернативой программе Paint, встроенной во все версии Windows. Но пусть схожесть названий не сбивает вас с толку: Paint.NET гораздо более продвинутый и полезный редактор.

Команда разработки делает упор на простоту использования и совершенствует в Paint.NET скорее функции для редактирования снимков, чем возможности дизайна графики. Тем не менее Paint.NET позволяет управлять перспективой, манипулировать пикселями на холсте, клонировать выделенные зоны и так далее.

Благодаря поддержке слоёв, широкому выбору инструментов для выделения и настроек вроде яркости / контрастности и кривых, Paint.NET можно рассматривать как достойную замену Photoshop.

6. Sumo Paint

Платформы: веб.

Sumo Paint быстро работает в вебе и справляется с задачами не хуже настольных редакторов. Но для его запуска вам понадобится Adobe Flash Player. Так что Sumo Paint не для iOS-устройств.

Арсенал настроек и функций Sumo Paint включает карандаши, кисти, текст, градиенты, клонирование, формы и не только. Всё это всегда в зоне видимости на плавающей панели вроде той, что вы могли видеть в Photoshop.

Оцените статью
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Андрей Измаилов
Наш эксперт
Написано статей
116
Добавить комментарий